 |
 |
|
|
|
|
Блеск «золотого» сечения
Ремесло There are more things in heaven and earth I. Введение «Золотая» пропорция относится к фундаментальным константам, которые известны человечеству с незапамятных времён. Осознание определённой универсальности этой константы возникло в начале XVI века, когда итальянский математик Лука Пачоли, близко знакомый с Леонардо да Винчи, опубликовал трактат «Божественная пропорция. Книга весьма полезная всякому проницательному и жаждущему знания уму, из которой каждый занимающийся философией, перспективой, живописью, скульптурой, архитектурой, музыкой или другими математическими предметами может приобрести приятные, остроумные и удивительно достойные сведения и найти развлечение по разным вопросам и самым секретным знаниям». Именно этот трактат впервые обращал внимание читателя на то, что соотношение, известное как «золотое» сечение, можно встретить в самых различных областях и дисциплинах. В XX веке интерес к «золотому» сечению вспыхнул с новой силой. Эту удивительную константу обнаружили и в физике, и в биологии, и в экономике, и во многих других науках. На неё, как на универсальную меру гармонии, часто ссылаются в изобразительных искусствах, включая фотографию. В этой небольшой статье предпринята попытка обратить внимание читателя на редко упоминаемые свойства «золотого» сечения. Также здесь будут затронуты некоторые смежные вопросы эстетики и философии. II. Немного математики «Золотая» пропорция — это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к меньшей, как целое относится к большей: b / a = (a + b) / b Решение этого уравнения относительно b / a даёт: Ф = b / a = 1,61803398… Иногда оперируют обратной величиной: a / b = 1 / Ф = Ф – 1 = 0,61803398… Точное решение в радикалах выглядит следующим образом:
III. «Золотое» сечение и основы композиции В фотографии, графике и живописи часто рекомендуют использовать «золотое» сечение для построения композиции. При таком подходе вся область изображения разбивается линиями «золотого» сечения на девять областей (см. рис. 1А).
Ключевые элементы композиции (важные детали, композиционные центры, линию горизонта и т.п.) рекомендуется размещать на линиях «золотого» сечения или в точках их пересечения. В фотографии это правило часто упрощают до «правила третей». В соответствии с этим правилом вместо сетки «золотого» сечения рекомендуется использовать сетку, разделяющую линейные размеры изображения на равные трети (рис. 1В). Здесь уместно сделать три комментария:
IV. Обобщённые «золотые» сечения Формула для получения обобщённых S-пропорций (иногда называемых также обобщёнными «золотыми» p-сечениями) весьма похожа на основную формулу традиционного подхода. Отличие лишь одно: правая часть уравнения возведена в степень S: b / a = ((a + b) / b)s, где S = 0,1,2,3,4… Для различных значений S из этой формулы можно получить значение обобщённого S-сечения. Если обозначить (a + b) / b = y, то случаю S = 0 соответствует деление отрезка пополам (y0 = 2). Случаю S = 1 соответствует традиционное «золотое» сечение: y1 = 1,618… Из этого же уравнения можно найти значения обобщённых S-сечений для S > 2. Можно-то можно, но нужно ли? Именно таким вопросом часто задаются люди с критическим складом ума, но далёкие от математики. Не является ли концепция S-сечений надуманной математической абстракцией? Что даёт нам право считать корни рассматриваемого уравнения при S > 2 также «золотыми»? Ответ на эти вопросы таков. В математике есть числа, носящие имя итальянского математика Фибоначчи, известного также как Леонардо Пизанский. Числа эти, помимо прочего, интересны тем, что отношение двух соседних чисел примерно равно «золотой» пропорции, причем это равенство тем точнее, чем больше сами числа. На языке математики эту мысль формулируют так: отношение двух соседних чисел Фибоначчи стремится в пределе к «золотой» пропорции. Но числа Фибоначчи являются лишь частным случаем более общей последовательности S-чисел Фибоначчи. А отношение соседних S-чисел как раз и стремиться в пределе к «золотой» S-пропорции, определяемой вышеприведённым алгебраическим уравнением. Иными словами, если одна из частных последовательностей связана с «золотым» сечением, то вполне разумно предположить, что в более общем случае можно получить полный набор «золотых» чисел.
На рис. 2 показан квадрат с нанесёнными первыми восемью «золотыми» S-сечениями (S = 0…7) плюс сечения, соответствующие S = 30 (зелёный пунктир). Как видно из рисунка, с ростом S сетка имеет тенденцию всё плотней и плотней покрывать периферийные зоны изображения. Следствием этого является очень простой вывод: если объект (деталь, элемент, и т.п.) расположить с краю, то он почти гарантированно попадет на пересечение S-сечений, соответствующих достаточно большим значениям S. Конечно, значение обобщённых сечений при больших S не столь велико. Но вместе с тем, нельзя и отрицать, что очень часто главные объекты, размещённые у края картины, фотографии и т. п. смотрятся очень органично. Если на рис. 2 добавить сетку, соответствующую S > 7, то частокол линий практически закроет все области, прилегающие к краям изображения. Лишь в центре изображения можно будет найти относительно пустые области. Но и они могут быть использованы для размещения значимых элементов при условии, что в другой зоне будет размещён уравновешивающий их объект. При этом общий композиционный центр можно поместить на пересечении каких-либо обобщённых S-сечений. Следует также обратить внимание на то, что «сетка третей» (показана на рис. 2 синим цветом) гораздо ближе к линиям, соответствующим S = 2, а не к линиям основного «золотого» сечения (S = 1). Возможно, это является ещё одним объяснением того факта, что композиции, построенные на основе правила третей, выглядят вполне гармонично. Из всего вышесказанного вытекает один важный вывод: если опираться на концепцию обобщённых «золотых» сечений, то надо будет признать, что в прямоугольнике вообще практически нет областей, не подходящих для размещения какой-либо важной смысловой детали. Общее же восприятие изображения определяется не только и не столько «золотыми» сечениями, но, главным образом, другими правилами композиции (равновесием, движением, и т.п.). Неспроста в некоторых интереснейших монографиях, посвящённых правилам композиции в изобразительном искусстве, «золотое» сечение даже не упоминается. Например, Василий Кандинский в своей работе «Точка и линия на плоскости» высказывается о формулах и числах вполне определённо: «Формула подобна клею. Она сродни также липкой ленте от мух, жертвами которой падают беспечные. Формула — это ещё и клубное кресло, заключающее человека в свои тёплые объятия. Но, с другой стороны, стремление освободиться из тисков — предпосылка для следующего рывка: к новым ценностям и в итоге — к новым формулам. И формулы умирают и сменяются вновь рождёнными». V. And all that jazz Нет никаких сомнений в том, что «золотая» пропорция является важной константой, фигурирующей в решении многих прикладных задач. Очевиден и тот факт, что это соотношение можно обнаружить в ходе различных экспериментальных исследований. Но, к сожалению, нередки и случаи, когда представленные факты выглядят не слишком убедительно. Удивительно, но факт: «золотая» пропорция Ф и число «пи», делённое на два, различаются между собой менее чем на 3% (1,61803398… и 1,57079632… соответственно). Поэтому про очень многие случаи, можно сказать, что в произведении, объекте или явлении природы зашифровано вовсе не число Ф, а число «пи». Взять, к примеру, известнейший портрет Моны Лизы работы Леонардо да Винчи (рис.3).
Очень часто встречается утверждение, что в пирамиде Хеопса одновременно заложены две мировые константы: число «пи» и «золотая» пропорция. Отчасти это верно. Но здесь уместно сделать небольшую оговорку. Если мы выберем размеры пирамиды такими, что отношение полупериметра основания к высоте будет равно «пи», то:
На этом основании вполне можно, например, утверждать, что в пропорции пирамиды Хеопса была заложена лишь одна из мировых констант. Вторая же оказалась там автоматически (просто в силу характерных для пирамиды геометрических соотношений). Но, конечно, нельзя исключать и того, что именно такое свойство пирамиды послужило основанием для её выбора в качестве усыпальницы фараонов. Формула, приведённая на рис. 4, является ещё одним выражением для приближённого вычисления «золотой» пропорции через число «пи». (Первое приближение — это, как уже было сказано, «пи пополам».) Но не стоит на этом основании заключать, что «золотая» пропорция и число «пи» имеют близкую сущность, ибо эта пропорция не менее родственна и другой известнейшей константе: числу Эйлера e = 2,71828… В первом приближении можно сказать, что «е» примерно равно Ф2. В определённом смысле даже можно утверждать, что Ф по самой своей сущности должно быть близко числу Эйлера, так как «золотое сечение» тесно связано с числами Фибоначчи, а те, в свою очередь, появляются в известной задаче «о размножении кроликов». Но и число «е» тоже весьма часто встречается в задачах о процессах нарастания (или уменьшения). На этот факт обращает внимание, например, Если «пи пополам» является неплохим приближением для «золотой» пропорции снизу, то «корень из е» является примерно таким же по точности приближением сверху. В силу вышесказанного, очень часто трудно с определённостью судить, какая из трёх мировых констант присутствует в том или ином объекте или явлении: «пи», «е» или Ф.
Ссылки на «золотое» сечение часто встречаются при описании различных шрифтов. Но в явном виде это соотношение в шрифтах удаётся найти далеко не всегда. Чаще всего в шрифтах используются вспомогательные пропорции, получаемые из суммирования различных отрезков, полученных, в свою очередь, на основе «золотого» сечения. Но в таких случаях вряд ли имеет смысл акцентировать внимание на связь шрифта с «золотой» пропорцией, так как практически любое число можно выразить в системе счисления с основанием Ф (см, например, Bergman G., «A number system with an irrational base» [5]).
Пытливые читатели, например, могут поискать следы «золотой пропорции» в букве S, изображённой на рис. 5. Уже упомянутый bottom weighting effect здесь обнаруживается сразу. А вот признаки «золотой» пропорции — не столь явны и очевидны. Всё вышесказанное вовсе не означает, что все свидетельства и факты, касающиеся чисел «е», «пи» и Ф — не что иное как подтасовки! Вовсе нет! Но определённая осторожность при рассмотрении таких фактов совершенно необходима. Не стоит принимать на веру любые голословные утверждения. VI. Гармония и её мера «Золотое» сечение — не столько мера всеобщей гармонии, сколько пропорция всеобщей целесообразности (причём ровно в той же мере это справедливо и для других мировых констант). И в этом смысле её божественную суть отрицать трудно. В отношении же гармонии и эстетики, автор берёт на себя смелость полагать, что человеческая душа и её сокровенные движения не поддаются строгому описанию в рамках какой-либо математической модели. В рамках же теологии вообще странно уподоблять человека роботу, подчинённому целиком и полностью математическим соотношениям, ибо в этом смысле разумнее смотреть на человека как на результат творения по образу и подобию Бога. И в этом случае, человеку нельзя отказывать в «свободе воли», так как она изначально присуща человеческой душе. Конечно, бывают случаи, когда целесообразность и гармония совпадают. Неспроста авиаконструктор А.Н.Туполев считал, что красивые самолёты лучше летают. Но, к сожалению, такие совпадения случаются не всегда. Отступления от законов природы в технике просто вредны — устройство, построенное с отклонениями от законов естественных наук, и работать будет хуже (а, может, и вообще не будет), и эффективность его будет не велика. В искусстве же человеку дается шанс поупражняться в том, чего нет и быть не может. И цель этих упражнений вовсе не в том, что они имеют прямую практическую пользу, а в том, что они способствуют развитию человека, дают ему прекрасную возможность потренировать собственный разум и изменить свою душу.
Найти всеобщие формулы гармонии — задача пустая. Это все равно, что обучить компьютер творчеству: пусть-де, мол, пишет музыку, сочиняет стихи и пишет картины. Правда, и в таких произведениях, человек может найти пользу и смысл, ибо настоящее произведение искусства рождается дважды: первый раз в голове и руках творца, а второй раз в голове у зрителя, слушателя и т.п. Но более чем часто компьютерные шедевры быстро приедаются и наскучивают. Человек ищет импровизации, и не находит ее. И произведение становится в восприятии плоским, «лишённым души». Именно поэтому исполнение музыки хорошим музыкантом никогда нельзя будет заменить машинным исполнением. Машина будет исполнять произведение абсолютно точно, то есть так, как записано в нотах. Человек же всегда привнесет в живое исполнение массу новых нюансов, базирующихся на трепете его собственной души. И в этих тонких нюансах — сама суть творчества, то есть реализации возможностей (потенциалов), данных человеку от рождения. Опасная иллюзия: изобразительному искусству можно научиться. Да, можно узнать о «золотом» сечении и основах композиции. Да, можно изучить технику и инструменты. Можно даже на этой основе создать нечто добротное и интересное для других, ибо, как уже было сказано выше, второй раз искусство рождается в голове у зрителя. Но предмет подлинного Искусства так не создать! Он может появиться лишь в тонких нюансах, акцентах и отклонениях от нормы. Научить этому нельзя. Это может лишь чудесным образом возникнуть в душе человека-творца. Именно это и есть то самое «чуть-чуть», о котором говорил Карл Брюллов. К подлинно значимому произведению искусства хочется возвращаться вновь и вновь: книгу — перечитывать, музыку — ещё раз прослушивать, на картину — в очередной раз смотреть. При этом в каждой новой встрече будут открываться новые детали, нюансы и тонкости. Подобное искусство редко рождается при помощи циркуля, линейки и калькулятора. Поэтому любое подлинное обучение должно подразумевать не только постижение набора известных фактов и не только приобретение необходимых навыков, но и совершенствование души обучающегося. VII. Заключение Автору вовсе не хочется, что бы эта статья рассматривалась как опровержение тезиса о «золотом» сечении как о мере гармонии. Сказать по правде, автору вообще не известны никакие готовые рецепты и непреложные истины в отношении искусства. Поэтому данный текст не может является аргументом ни «за», ни «против». Думайте и чувствуйте! Не позволяйте душе лениться! Не надейтесь получить готовые рецепты ни от автора этой статьи, ни от кого-либо другого. Именно эти простые и даже банальные истины как нельзя лучше подходят для завершения статьи о блеске «золотого» сечения.
|
|
|
|
|
© Игорь Ефремов, 2005, все права сохранены
Для использования материалов этого сайта в коммерческих или некоммерческих
целях необходимо получить от меня письменное разрешение, если обратное
не оговорено в явной форме. |
|